本日全統模試があり、塾生の方に示した解答例を一部紹介したいと思います。
全統一模試2007、0908実施□4番 （4）の解答
5ｘ*ｘ-2ｋｘ+ｋ*ｋ-6＝0 … ①
二次方程式①が二つの異なる実数解を持つ条件は
判別式D＞0より
実数ｋについて以下の不等式が成り立つことです。
-（√30）/2 ＜ｋ＜ （√30）/2 … ②
β-α＞2 となるための実数ｋの値を知るために、解の公式で求めた二つの解を大きいほうβから小さいほうαを引いて、
β-αを計算すると無理数部分の2倍が残り、整数（有理数）部分は相殺して消去されます。
β-α＝（2√（30-4k*k））/5
これが2より大きいためには
β-α＝（2√（30-4k*k））/5 ＞2 を解いて
-（√5）/2 ＜ ｋ ＜（√5）/2 …③
ｋは実数ではなく整数の範囲で選ぶと 2 ＜√5 ＜ 3 を考慮し
（√5）/2 ＝1.□□… （□は小数部）となりますから
③を満たすｋは整数では -1、0 +1 の3つ存在します。これらは②の条件も満たしています。
（4）の問題ですが（1）～（3）まで誘導してきているといえます。
まず（3）で気がついてほしいことがあります。
「β-α＞2をなぜ検討させているか？」という目で問題を見ます。
（4）の問いは、
「ｋが整数のとき、5ｘ*ｘ-2ｋｘ+ｋ*ｋ-6＜0 …④ を満たす整数ｘの個数が1個となることはないことを示せ」です。
「一個となることはない」ということは0個か2個以上かと言い換えることができます。
まず2個以上となる場合を考えます。
「二つの解ｘ＝α、ｘ＝βの間の間隔が2より大きければ、5ｘ*ｘ-2ｋｘ+ｋ*ｋ-6＜0を満たす整数ｘは2個存在することになります。（ｘ軸の数直線上で長さが2の線分を任意に選んだとき、必ずその線分の中には整数ｘが2個含まれるから。（厳密には3個含まれる場合が唯一ある⇒線分の端が整数値に重なったとき））
したがって
（3）で求めた ｋ＝-1,0,1 の3つの場合は、整数ｘを2個持つことになるので整数ｘは1個ではない、ということが示せます。
ｋは整数ですが、すべてのｋの場合に「整数ｘは1個ではない」といことをいわなければなりません。ｋ＝-1,0,1は上で考えましたから、次にｋが-2、2の場合を考えます。
またｋが-3より小さい、あるいは3より大きい整数の場合も考えます。
ｋ＝2のとき、不等式は
5ｘ*ｘ-4ｘ-2＜0 となります。
（2-√14）／5 ＜ ｘ ＜ （2+√14）／5 （√14＝√2（＝1.1414）×√7（＝2.236））
ざっと計算して
-0.348 ＜ｘ ＜1.148
ですから、ｋ＝2の時は 整数ｘとして0と1の二つを含んでいます。
同様に
ｋ＝-2のとき、不等式は
5ｘ*ｘ+4ｘ-2＜0 となります。
（-2-√14）／5 ＜ ｘ ＜ （-2+√14）／5 （√14＝√2（＝1.1414）×√7（＝2.236））
ざっと計算して
-1.22 ＜ｘ ＜0.43
ですから、ｋ＝2の時は 整数ｘとして-1と0の二つを含んでいます。
ｋの絶対値が3以上の場合 （ｋ＜-3 、3＜ｋ）
は2つの異なる実数解を持つ条件
-（√30）/2 ＜ｋ＜ （√30）/2 … ②
（5＜√30＜6だから -2.□□…＜ｋ＜2.□□…）
を満たすことができません。
したがって、α、βは存在せず、不等式を満たす整数ｘは0個（存在しない）になります。
ゆえに整数ｋについてまとめると
・｜ｋ｜≦1 のとき 整数ｘの数は2個存在する。
・ｋ＝2 のとき 整数ｘの数は2個存在する。
・ｋ＝-2 のとき 整数ｘの数は2個存在する。
・3≦｜ｋ｜ のとき 整数ｘは0個存在する。
したがってすべての整数ｋについて整数ｘは1個になることはない。
（証明終わり）
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コメント
二つの異なる実数解を持つ条件
-（√30）/2 ＜ｋ＜ （√30）/2 … ②
つまり
-5.□□…/2 ＜ｋ＜ 5.□□…/2
つまり
-2.□□… ＜ｋ＜ 2.□□…
ですから、ここに含まれる整数のｋ数は5個 （-2、-1、0、1、2）しかない！という感触が得られたら良かったですね。ルートの大きさを大体見積もっておくのは、得策と思います。
ｋがこれ以上大きい整数では実数解が存在しないので、これ以上大きいｋは相手にする必要はないということです。扱う範囲が狭まってぐっと考えやすくなります。
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□2の【解答】
点Qが正方形を一周する時間を4√2とおくと、ｎ周した時点で4ｎ√2の時間が経過します。一方この時間の間に六角形上を動く点Ｐは（ｎ-1）周してｎ週目の辺ＡＢ上にいるから、
以下の不等式が成り立ちます。
6（ｎ-1）＜ 4ｎ√2 ＜6（ｎ-1）+1…① Ａ点まで6（ｎ-1）秒、Ｂ点まで6（ｎ-1）+1
左側の＜の不等式を解くと
6（ｎ-1）＜ 4ｎ√2
6ｎ-4ｎ√2 ＜6
n(6-4√2) ＜6
ｎ＜6/（6-４√2）
有利化して
ｎ＜6（6+4√2）／｛（6-４√2）（6+4√2）｝
ｎ＜36+24√2/（36-32）
ｎ＜9+6√2
ｎ＜17.46… …②
同様に①式の右側の不等式を解くと
4ｎ√2 ＜6（ｎ-1）+1
5＜6ｎ-4√2
5＜ｎ（6-4√2）
5/（6-4√2）＜ｎ
有利化し
5（6+4√2）/（36-32）
（30+20√2）/4 ＜ｎ
7.5+5√2 ＜ｎ
14.55… ＜ｎ
① と②から
14.55… ＜ｎ＜ 17.46…
したがって
ｎは 15、16、17の三つ。（答え）
確認の計算
たとえばｎ＝15を代入してみます。
15周（ｎ＝15）だと必要時間は15*4√2＝84.852秒
84.852÷6＝14.142
六角形の場合は14週（ｎ＝15-1＝14）で84秒かかるから、残り0.852秒は1秒未満である。したがって辺ＡＢ上にいることが確認できます。
同様にｎ＝16、と17で確認してよいですが
問題の（2）～（3）で一周あたり点ＰとＱ時間の間に0.343秒の差が生まれることがわかっていますから、
ｎ＝16
0.852-0.343＝0.509 ← 0～1秒の間
ｎ＝17のとき
0.529-0.343＝0.166 ← 0～1秒の間
もし
ｎ＝18だと
0.166-0.343 が負になりますからＮＧです。
